Unser erster Artikel in der Reihe „Funktionale Programmierung in der Praxis“ mit dem Thema Datenvalidierung mit applikativen Funktoren.

Willkommen zu unserem ersten Artikel in der Reihe „Funktionale Programmierung in der Praxis“. In dieser Reihe stellen wir anhand echter Beispiele Konzepte aus der funktionalen Programmierung vor und zeigen, wie wir sie tatsächlich tagtäglich in der Praxis anwenden.

Heute beschäftigen wir uns mit dem Thema Datenvalidierung und zeigen, wie applikative Funktoren dabei helfen, Ungereimtheiten in Daten systematisch aufzusammeln und zu verwerten.

Wir wollen JSON validieren

Webservices kommunizieren gerne in Form von JSON-Objekten miteinander, die von User:innen und anderen Serivces in unserer Applikation landen. Es ist kein Geheimnis, dass das JSON-Format durch seine schmale Anzahl von Typen eingeschränkt ist. Das bedeutet in der Praxis, dass komplexe Datentypen in der Regel in Strings serialisiert werden. Außerdem haben wir oft bestimmte Anforderungen an die Form des konkreten Datums: Ein "username" soll nicht leer sein, eine "email" sollte zumindest ein "@"-Symbol enthalten und serialisierte Werte müssen unserer Erwartung entsprechen, um in interne Datentypen umgewandelt werden zu können.

Für das folgende Beispiel gehen wir von folgender Datenanalyse aus. Ein:e Nutzer:in besteht aus:

  • einem Namen
  • einer E-Mail-Adresse
  • einer Rolle

Eine Rolle ist eines der folgenden:

  • ein:e Entwickler:in
  • ein:e Admin
  • ein:e Bugreporter:in

Für die Implementierung verwenden wir die Programmiersprache Haskell. Da könnte das folgendermaßen aussehen:

data UserRole = ADMIN | DEVELOPER | REPORTER

data User = { userName  :: String
            , userEmail :: String
            , userRole  :: UserRole }

-- Beispiele
marco = User "Marco" "marco.schneider@active-group.de" DEVELOPER
simon = User "Simon" "simon.haerer.at.active-group.de" DEVELOPER

Die zwei Beispiele im Code zeigen direkt ein Problem: Wir wissen zwar, dass die E-Mail-Adresse von Simon nicht valide ist, wenn wir sie aber direkt aus einem JSON-Objekt lesen, hält uns nichts davon ab, eine solche Invariante („jede Emailadresse enthält ein „@“-Symbol“) zu ignorieren. Wir müssen die Daten also irgendwie validieren, bevor sie weiter ins System eindringen.

Wir könnten natürlich einen Konstruktor für User schreiben, der solche Fehler abfängt. Wir benutzen für das Ergebnis Either a b = Left a | Right b. Dabei gilt:

  • Einen Fehler signalisiert man mit Left a
  • Einen Erfolg signalisiert man mit Right b
type Error = String

makeUser :: String -> String -> Role -> Either Error User
makeUser name email role
  | '@' `elem` email = Right (User name email role)
  | otherwise        = Left  "not a valid email"

Super, Problem gelöst. Wenn alles glattläuft, bekommen wir einen Right User, andernfalls einen Left Error. Obwohl, was ist, wenn der Username leer ist? Ein zweiter Versuch:

type Error = String

makeUser :: String -> String -> Role -> Either Error User
makeUser name email role
  | null name        = Left "not a nonempty string"
  | '@' `elem` email = Right (User name email role)
  | otherwise        = Left "not a valid email"

Das ist etwas besser. Was ist, wenn sowohl der name leer ist als auch die email kein '@' enthält? Wir wollen schließlich alle Fehler wissen, nicht nur den ersten. Das heißt aber auch, dass wir eine andere Signatur brauchen (mit einer Liste von Fehlern für Left).

type Error = String
type Errors = [Error]

makeUser :: String -> String -> UserRole -> Either Errors User
makeUser name email role =
  let nameOk = not (null name)
      emailOk = '@' `elem` email
  in
    if nameOk && emailOk
    then Right (User name email role)
    else
      if nameOk && not emailOk
      then Left ["not a valid email"]
      else
        if not nameOk && emailOk
        then Left ["not a nonempty string"]
        else Left ["not a valid email" "not a nonempty string"]

Naja, so richtig zufrieden macht das nicht. Außerdem explodiert die Anzahl an Fällen, die wir in immer weiteren Verzweigungen prüfen müssen. So wird das nichts.

Allerdings – denke ich – haben wir etwas darüber gelernt, was wir eigentlich wollen:

  1. Wir wollen jede Validierungen für sich durchführen können
  2. Wir wollen mehrere Validierungen kombinieren können
  3. Wir wollen eine Validierungsfunktion schreiben, die genau dann ein validiertes Ergebnis zurückgibt, wenn alles in Ordnung ist oder eine Liste aller Fehler, falls etwas nicht stimmt.

Validierungsfunktionen

Um dem Ganzen etwas Struktur zu geben, definieren wir zuerst einen eigenen Datentyp der unseren Validierungsergebnissen entspricht. Ein solches Ergebnis ist eines der folgenden:

  • Eine erfolgreiche Validierung (Ok <wert>) eines Wertes, oder
  • eine Liste von Fehlern, die bei der Validierung auftraten (Fail Errors). Warum eine Liste? Stellen wir uns die Validierung eines Webformulars mit mehr als einem Formularfeld vor. Es würde nerven, immer nur einen Fehler gesagt zu bekommen, um nach dessen Korrektur den nächsten Fehler zu sehen. Wir möchten darum lieber alle Fehler auf ein mal haben.
type Errors = [String]

data Validation c = Ok c 
                  | Fail Errors

Unsere Validation repräsentiert das Ergebnis einer Validierung. Sie ist parameterisiert über den Typ eines Kandidatenwerts c. Damit lassen sich Validierungen für Werte beliebigen Typs angeben.

Als Nächstes schreiben wir ein paar Funktionen, die unsere Validierungen von oben darstellen:

-- | Validate that `candidate` is not the empty string.
validateNonemptyString :: String -> Validation String
validateNonemptyString candidate
  | null candidate = Fail ["not a nonempty string"]
  | otherwise      = Ok candidate
  
-- | Validate that a string represents an email.
validateEmail :: String -> Validation String
validateEmail candidate
  | '@' `elem` candidate = Ok candidate
  | otherwise            = Fail ["not an email"]

-- | Validate that a `candidate` represents a `UserRole`.
validateUserRole :: String -> Validation UserRole
validateUserRole candidate
  | candidate == "ADMIN"     = Ok ADMIN
  | candidate == "DEVELOPER" = Ok DEVELOPER
  | candidate == "REPORTER"  = Ok REPORTER
  | otherwise                = Fail ["not a role"]

Damit können wir schon mal einzelne Validierungen vornehmen:

validateNonemptyString "ok"
-- Ok "ok" : Validation String
validateNonemptyString ""
-- Fail ["not a nonempty string"] : Validation String

validateEmail "marco.schneider@active-group.de" 
-- Ok "marco.schneider@active-group.de" : Validation String
validateEmail "marco.schneider.at.active-group.de" 
-- Fail ["not a valid email"] : Validation String

validateUserRole "ADMIN"
-- Ok ADMIN : Validation UserRole
validateUserRole "DEVELOPER"
-- Ok DEVELOPER : Validation UserRole
validateUserRole "unknown"
-- Fail ["not a valid role"]

Punkt eins (jede Validierung für sich durchführen) ist damit abgehakt. Jetzt wollen wir allerdings mehrere Ergebnisse miteinander kombinieren.

Kombinieren von Ergebnissen

Schauen wir uns zuerst die Kombination von zwei Fehlerfällen an: Da beide Fehler aus Listen von Fehlermeldungen bestehen, können wir diese aneinanderhängen und behalten alle Informationen. Das klingt doch gut!

combineValidations :: Validation a -> Validation a -> Validation a
combineValidations (Fail es) (Fail fs) = Fail (es ++ fs)

Der Haskellcompiler ist natürlich noch unzufrieden: Was ist, wenn links, rechts oder sogar an beiden Stellen der Funktion ein Ok steht?

Unsere dritte Anforderungen fordert: Entweder ein valides Ergebnis oder alle Fehler. Mit nur einem Fail auf der linken Seite wissen wir schon, dass es nur noch auf ein Fail hinauslaufen kann, auch wenn rechts ein Erfolg steht. Also lassen wir die rechte Seite in dem Fall einfach weg:

combineValidations :: Validation a -> Validation a -> Validation a
combineValidations (Fail es) (Fail fs) = Fail (es ++ fs)  -- von oben
-- Wenn linkerhand ein Fehler ist und rechts ein Erfolg,
-- interessieren wir uns nicht mehr für den Erfolg:
combineValidations (Fail es) _ = Fail es

Okay, wir haben zwei von vier Fällen abgedeckt – so weit, so einfach. Um den Haskellcomplier glücklich zu machen, brauchen wir noch zwei Fälle:

  1. Links ein Erfolg, rechts ein Fehler
  2. Links ein Erfolg, rechts ein Erfolg

Das klingt jetzt erst mal komisch, aber: Wir funktionalen Programmierer:innen haben nicht so fürchterlich viele Werkzeuge zur Verfügung. Wir können Funktionen mit Argumenten füttern und schauen, was das Ergebnis ist (oder im Fall von Haskell so lange probieren, bis der Compiler sein Okay gibt). Uns bleibt an dieser Stelle also nicht viel anderes übrig, als einfach so zu tun, als stünde links ein Ok dessen Wert eine Funktion ist, die weiß, was mit dem Wert rechts zu tun ist. Wenn wir das einmal kurz schlucken, können wir uns dafür eine kleine Hilfsfunktion schreiben.

applyOkFunctionToValidation :: (a -> b) -> Validation a -> Validation b
-- Nun, ein Misserfolg bleibt ein Misserfolg, 
applyOkFunctionToValidation _ (Fail es) = Fail es
-- Einen Erfolg möchten wir allerdings behalten.  Also nehmen wir, was
-- in den Erfolg eingewickelt ist und wenden `f` darauf an.  Wenn man
-- sich die Typsignatur anschaut, bleibt (außer der trivialen Lösung)
-- auch nicht viel anderes übrig.
applyOkFunctionToValidation f (Ok c) = Ok (f c)

Was steht hier? Unter der Annahme, dass wir aus einem Ok auf der linken Seite eine Funktion bekommen, können wir applyOkFunctionToValidation verwenden, um den Wert auf der rechten Seite darauf anzuwenden. Ein Fail auf der rechten Seite bleibt ein Fehler (er pflanzt sich also gewissermaßen der Berechung entlang fort) und bleibt unverändert. Ein Ok hat ein weiteres Ok zur Folge, indem das in das linke Ok gewickelte f darauf angewendet wird. So haben wir aus zwei Erfolgen einen gemacht.

Jetzt könnten wir applyOkFunctionToValidation fast in combineValidations einsetzen, wäre nicht dessen Typsignatur Validation c -> Validation c -> Validation c im Weg – wir brauchen ein Validation (a -> b) -> Validation a -> Validation b. Wer genau aufgepasst hat, hat aber gemerkt: Wir haben das a in der Signatur bisher noch gar nicht verwendet (bisher hat uns nur der Fehler interessiert und der hat nichts mit a zu tun). Wir können also die Signatur problemlos ändern. Damit ist combineValidations fertig und kann benutzt werden.

applyOkFunctionToValidation :: (a -> b) -> Validation a -> Validation b
applyOkFunctionToValidation _ (Fail es) = Fail es
applyOkFunctionToValidation f (Ok c) = Ok (f c)

combineValidations :: Validation (a -> b) -> Validation a -> Validation b
combineValidations (Fail es) (Fail fs) = Fail (es ++ fs)
combineValidations (Fail es) _ = Fail es
combineValidations (Ok f) v = applyOkFunctionToValidation f v

Fehlt da nicht etwas?

Ja, irgendwie schon. Dummerweise können wir unsere oben definierten Validierungsfunktionen nämlich jetzt nicht mehr ohne Weiteres als erstes Argument für combineValidations benutzen – wir wollen ja eine Funktion im Ok. Um auch das Problem aus der Welt zu schaffen, nehmen wir einen letzten Umweg.

Stellen wir uns vor, wir haben eine Validierung links, die, kombiniert mit einer Validierung rechts, immer das rechte Ergebnis zurückgibt. Haskell bietet uns schon die Funktion id : a -> a an, deren Ergebnis immer exakt ihr Argument ist. Wickeln wir das in ein Ok, sieht das Ganze so aus.

(Ok id) `combineValidations` validateNonemptyString ""
-- Fail ["not a nonempty string"]
(Ok id) `combineValidations` validateNonemptyString "Marco"
-- Ok "Marco"

Hilft uns das? Ein bisschen. Eigentlich ist es nämlich egal, welche Funktion in Ok steckt. Wir können also ganz allgemein aus jeder Funktion eine Validierung machen:

makeValidation x = Ok x

makeValidation reverse `combineValidations` validateNonemptyString "Marco"
-- Ok "ocraM"

Bringt nicht viel, funktioniert aber. Obwohl, hilft irgendwie schon, denn ganz unauffällig hat sich hier eine Lösung für Punkte zwei und drei von oben eingeschlichen.

makeValidation User
  `combineValidations` (validateNonemptyString "Marco")
  `combineValidations` (validateEmail "marco.schneider@active-group.de")
  `combineValidations` (validateUserRole "DEVELOPER")
-- Ok (User {userName = "Marco", userEmail = "marco.schneider@active-group.de", userRole = ADMIN})

Wer es nicht glaubt, kann gerne die Fehlerfälle überprüfen:

-- Alles falsch
makeValidation User
  `combineValidations` (validateNonemptyString "")
  `combineValidations` (validateEmail "marco.schneider.at.active-group.de")
  `combineValidations` (validateUserRole "DEVELOPE")
-- Fail ["not a nonempty string","not an email","not a role"]

-- Teilweise falsch
makeValidation User
  `combineValidations` (validateNonemptyString "Marco")
  `combineValidations` (validateEmail "marco.schneider.at.active-group.de")
  `combineValidations` (validateUserRole "DEVELOPE")
-- Fail ["not an email","not a role"]

Das sieht jetzt vermutlich erst mal magisch aus: Warum wird aus makeValidation User plötzlich eine Validierungsfunktion, wenn sie doch nur den ursprünglichen Konstruktor einwickelt? Es führt kein Weg daran vorbei, wir müssen uns kurz ansehen, wie man sich die einzelnen Substitutionen vorstellen kann (wichtig: das dient nur der Veranschaulichung und entspricht nicht wirklich der Ausfühungsmaschinerie). Dabei trenne ich jeweils die Repräsentation der Ausführungsschritte durch ein =>:

makeValidation User
  `combineValidations` (validateNonemptyString "")
  `combineValidations` (validateEmail "marco.schneider@active-group.de")
  `combineValidations` (validateUserRole "DEVELOPER")

=> Einsetzen der Definition von `User`

(Ok (\name email role -> User name admin role))
  `combineValidations` (validateNonemptyString "Marco")
  `combineValidations` (validateEmail "marco.schneider@active-group.de")
  `combineValidations` (validateUserRole "DEVELOPER")

=> Ergebnis der ersten rechten Seite

(Ok (\name email role -> User name admin role))
  `combineValidations` (Ok "Marco")
  `combineValidations` (validateEmail "marco.schneider@active-group.de")
  `combineValidations` (validateUserRole "DEVELOPER")

=> Einsetzen des ersten Ergebnisses in die linke Seite

(Ok (\email role -> User "Marco" admin role))
  `combineValidations` (validateEmail "marco.schneider@active-group.de")
  `combineValidations` (validateUserRole "DEVELOPER")

=> Jetzt wiederholt sich das ganze für die restlichen Argumente

(Ok (\email role -> User "Marco" admin role))
  `combineValidations` (Ok "marco.schneider@active-group.de")
  `combineValidations` (validateUserRole "DEVELOPER")

=> 

(Ok (\role -> User "Marco" "marco.schneider@active.group" role))
  `combineValidations` (validateUserRole "DEVELOPER")

=>

(Ok (\role -> User "Marco" "marco.schneider@active.group" role))
  `combineValidations` (Ok DEVELOPER)

=>

(Ok (User "Marco" "marco.schneider@active.group" DEVELOPER))

Presto! Alles in Ordnung. Analog für den Fall, dass Fehler auftreten (wir steigen ein wo es spannend wird):

(Ok (\email role -> User "Marco" admin role))
  `combineValidations` (validateEmail "marco.schneider.at.active-group.de")
  `combineValidations` (validateUserRole "DEVELOPER")

=>

(Ok (\email role -> User "Marco" admin role))
  `combineValidations` (Fail ["not an email"])
  `combineValidations` (validateUserRole "DEVELOPER")

=> Wir erinnern uns an oben:  Fehler rechts fressen `Ok`s links

(Fail ["not an email"])
  `combineValidations` (validateUserRole "dummy")

=> Und haben wir erst mal den Fehler, sammeln wir die restlichen Fehler nur noch zusammen.

(Fail ["not an email"])
  `combineValidations` (Fail ["not a role"])

=>

(Fail ["not an email" "not a role"])

Was uns hier im Hintegrund hilft, ist, dass in Haskell Funktionen partiell angewendet werden können. Das heißt eine Funktion mit drei Argumenten hat, wenn wir ein Argument anwenden, eine Funktion mit zwei Argumenten als Ergebnis. In Sprachen, in denen das nicht der Fall ist (wie zum Beispiel Clojure) müssen wir uns ein bisschen mehr anstrengen.

Damit haben wir tatsächlich alles an der Hand, um unsere Validierungsfunktion zu schreiben:

validateUser :: String -> String -> String -> Validation User
validateUser name email role =
	makeValidation User
	  `combineValidations` validateNonemptyString name
	  `combineValidations` validateEmail email
	  `combineValidations` validateUserRole role

Der offizielle Teil ist geschafft, denn unsere drei Kriterien von oben sind erfüllt. Wir wollen

  1. jede Validierungen für sich durchführen können -> wir schreiben Funktionen die Validations als Ergebnis haben
  2. Mehrere Validierungen aneinanderhängen -> mit combineValidations
  3. eine Validierungsfunktion schreiben, die dann ein validiertes Ergebnis zurück gibt, wenn alles in Ordnung ist oder eine Liste aller Fehler, falls etwas nicht stimmt -> mit validateUser

Der Praxisteil ist damit beendet. Wir haben uns angesehen, wie wir komponierbare Validierungsfunktionen für beliebige Datentypen schreiben können, wie man sie miteinander verknüpft und dabei sicher sein kann, wirklich alle Fehler mitzunehmen.

Wer sich allerdings fragt, was daran jetzt so unheimlich applikativ ist und wo sich der Funktor versteckt, kann sich unten weitervergnügen.

Wer oder was ist hier ein applikativer Funktor?

Als funktionale Programmierer:innen sind wir immer daran interessiert, allgemeinere Eigenschaften und Strukturen in unserem Code zu finden (oder ihn von Anfang an so zu gestalten). Ein Beispiel zur Herangehensweise bei uns im Hause ist das „Finde-den-Funktor-Spiel“™, denn: Wo sich ein Funktor versteckt, ist vielleicht auch ein applikativer Funktor, ist vielleicht auch eine Monade. Oder allgemein: Findet man erst ein bisschen Struktur, ist da meistens noch mehr.

Wer schon weiß, was einen Funktor in der Programmierung ausmacht, hat ihn weiter oben schon entdeckt. In Haskell schreibt man ihn als Typklasse so auf:

class Funktor f where
  fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

Um jetzt nicht in Metaphern darüber zu verfallen, was ein Funktor ist, zeige ich lieber, wo sich oben der Funktor versteckt hat. Wenn wir die Signatur von fmap anschauen, sieht das verdächtig nach applyOkFunctionToValidation aus!

fmap                        :: (a -> b) ->          f a ->          f b
applyOkFunctionToValidation :: (a -> b) -> Validation a -> Validation b

Wir könnten also ganz allgemein sagen, dass unsere Validation ein Funktor ist:

instance Functor Validation where
  fmap _ (Fail es) = Fail es
  fmap f (Ok c)    = Ok (f c)
  -- oder einfacher
  -- fmap = applyOkFunctionToValidation

Mit diesem Wissen ausgerüstet, können wir eine erste kleine Änderungen am Code von oben durchführen.

combineValidations :: Validation (a -> b) -> Validation a -> Validation b
combineValidations (Fail es) (Fail fs) = Fail (es ++ fs)
combineValidations (Fail es) _         = Fail es
combineValidations (Ok f)    v         = fmap f v

Das sieht nicht nach viel aus, ist aber doch schon einiges. Unsere Verwendung von fmap an dieser Stelle (und natürlich die Implementierung von Functor) signalisiert allen Lesenden, dass

  • hier bestimmte Gesetze gelten (zu Gesetzen bitte die Warnung weiter unten nicht übersehen)
  • aller Code aller Bibliotheken, die sonst noch etwas mit Funktoren anzufangen wissen, für uns auch verwendbar ist.

Applikativer Funktor

Irgendwie war ja schon klar, dass hier auch ein applikativer Funktor versteckt ist – sonst wäre der Titel des Posts eine ganz schöne Nullnummer.

Schauen wir uns wieder zuerst die Definition der entsprechende Typklasse in Haskell an:

class Functor f => Applicative f where
  pure  :: a -> f a
  (<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b

Beide Signaturen könnten uns bereits bekannt vorkommen:

pure           :: a ->          f a
makeValidation :: a -> Validation a

(<*>)              ::          f (a -> b) ->          f a ->          f b
combineValidations :: Validation (a -> b) -> Validation a -> Validation b

Dann setzen wir mal ein:

instance Applicative Validation where
  pure  = makeValidation
  (<*>) = combineValidations

Und zu guter Letzt:

validateUser :: String -> String -> String -> Validation User
validateUser name email role =
	pure User <*> validateNonemptyString name
	          <*> validateEmail email
	          <*> validateUserRole role

Netterweise bekommen wir (wie schon beim Functor) alles geschenkt, was sonst noch für applikative Funktoren zu haben ist. Nur ein kleines Beispiel: der <$>-Operator ((<$>) :: Functor f => (a -> b) -> f a -> f b, wobei (<$>) = fmap) macht die Validierung noch ein kleines bisschen hübscher:

validateUser email name role =
  User <$> validateNonemptyString "Marco"
       <*> validateEmail "marco.schneider@active-group.de"
       <*> validateUserRole "DEVELOPER"

Was bringt mir das Ganze?

Völlig zurecht könnten Sie sich jetzt fragen, warum wir den ganzen Aufwand betreiben. Warum den Funktor suchen? Und gar applikative Funktoren? Da wir uns hier mit der praktischen Anwendung von funktionaler Programmierung beschäftigen, möchte ich nur ein Detail herauspicken.

Wenn man sich die Typsignatur von (<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b (oder auch die Definition) anschaut, fällt auf: Die einzelnen Argumente sind voneinander unabhängig. Das heißt, ich bin theoretisch frei im Ausdruck

make <$> foo <*> bar <*> baz

foo, bar und baz in beliebiger Reihenfolge auszurechen – oder in beliebigem Kontext (so lange die Typen „passen“)! Das heißt, dass ich beispielsweise entscheiden könnte, meine Implementierung von <*> so zu schreiben, dass jedes Argument auf einem eigenen Thread ausgewertet wird und das Ergebnis aufgerufen wird, wenn alle parallelen Berechnungen fertig sind. Das gilt dann natürlich für jede Instanz von Applicative, die sich an die Gesetze hält – in dem Fall an das Assoziativgesetz.

pure (.) <*> u <*> v <*> w = u <*> (v <*> w)

Es soll also gelten: Die Anwendung der Komposition pure (.) <*> u <*> v <*> w ist äquivalent dazu, u auf das Ergebnis von v <*> w anzuwenden (oder einfacher gesagt: Komposition applikativer Werte mit pure (.) verhält sich wie Komposition von Funktionen mit .). Es soll also egal sein, in welcher Reihenfolge das Ergebnis berechnet wird.

Fazit

Wir haben Ihnen eine Variante der Datenvalidierung in der funktionalen Programmierpraxis vorgestellt. Dazu haben wir einen applikativen Funktor verwendet und gezeigt, dass wir damit sehr einfach Teilergebnisse miteinander kombinieren können und so immer genau Bescheid wissen, was alles falsch lief.

Der begleitende Quellcode für diesen Artikel ist auf Github zu finden.

Wichtiger Nachklapp

Noch eine Bemerkung zum Thema Typklassen und Signaturen. Nur weil die Signaturen von Funktionen so aussehen, als könnten sie zu einer Typklasse passen, heißt das noch lange nicht, dass daraus auch eine korrekte Typklasse wird. Eine solche Klasse besteht in der Regel aus:

  1. Einer Menge von Operationen (fmap oder pure plus <*>)
  2. Einer Menge an Gesetzen, die für Werte des Typs unter diesen Operationen gelten müssen

Haskell gibt uns leider nicht die richtigen Mittel an die Hand, um sicherzustellen, dass die jeweiligen Gesetze auch von der Instanz eingehalten werden. Zu zeigen, dass unsere Instanzen korrekt sind, sprengt allerdings den Rahmen dieses ohnehin schon langen Posts.